|
Автор: Гагарина Наталия Юрьевна Дата публикации: 12.02.2018 |
«Метод тождественных многочленов»
Занятие по данной теме проводится в рамках программы элективного курса ГОУ РК «ФМЛИ» «Олимпиадные задачи по математике» в 10 классе. При обосновании рассматриваемого метода применяется теоретический материал, изученный на уроках алгебры в 8-ом классе по теме «Многочлены от одной переменной с действительными коэффициентами». Указанный метод позволяет более рационально решать некоторые типы задач на многочлены.
На уроке сначала обосновывается метод тождественных многочленов, то есть формулируется теорема и её следствия о том, что многочлен степени n не может иметь более n различных корней. С доказательством этой теоремы учащиеся были уже ознакомлены ранее. Затем учащимся предлагаются задачи, в том числе и олимпиадные, при решении которых используется указанный метод.
Цель урока: дать представление о методе тождественных многочленов.
Задачи урока:
- Обосновать метод тождественных многочленов;
- Применить метод тождественных многочленов при решении олимпиадных задач;
- Расширить и углубить знания учащихся по теме «Многочлены с действительными коэффициентами»;
- Привить интерес обучающихся к изучению различных математических методов, позволяющих решать олимпиадные задачи.
Ход урока:
Вводный рассказ учителя.
При решении практически любой задачи приходится делать те или иные преобразования. Зачастую её сложность полностью определяется степенью сложности и объемом преобразований, которые необходимо выполнить. При решении некоторых задач, связанных с преобразованием алгебраических выражений, тратится много времени, а иногда допускаются и ошибки. Метод тождественных многочленов, о котором пойдет речь на уроке, дает возможность получать более краткие решения таких задач. Сначала мы повторим алгебраическое утверждение о том, что многочлен степени n не может иметь более n различных корней и сформулируем очевидное следствие обсуждаемой теоремы. Далее для иллюстрации применения этой теоремы и её следствия рассмотрим несколько примеров на упрощение выражений и доказательство тождеств, в которых в полной мере проявляются простота и сила излагаемого метода. Обратим особое внимание на олимпиадные задачи, при решении которых рационально использовать метод тождественных многочленов.
Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Вспомним одну из теорем, доказанную в 8 классе при изучении темы «Многочлены с действительными коэффициентами», а также ее следствие (на экране представлены их формулировки).
Теорема.
Пусть Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn – многочлен. Если имеется (n + 1) попарно различных значений xk (k = 0, 1, 2, …, n), для каждого из которых Pn(xk) = 0, то Pn(x) = 0 для всех x Î R, более того a0 = a1 = a2 = … = an = 0.
Следствие
Если для многочленов Pn(x) и Mn(x) Mn(x) = a 0 + a 1x + a 2x2 + … + a nxn
имеются попарно различные значения xk ( k = 0, 1,2, …, n), для каждого из которых выполняется Pn(xk) = Mn(xk), то Pn(x) = Mn(x) для всех xÎ R и ak = a k для любого k = 0, 1, 2, …, n.
Изучение нового материала.
Проиллюстрируем применение этой теоремы и её следствия, т.е. покажем, как с их помощью можно легко доказывать тождественные равенства многочленов и их соответствующих коэффициентов, что, в свою очередь, позволяет получать весьма краткие решения некоторых нестандартных уравнений и задач на упрощение алгебраических выражений (на экране представлены тексты заданий).
Пример 1. Упростите выражения:
;
;
.
Решение. Мы не будем упрощать каждое из выражений в отдельности, применяя привычные приемы, основанные на приведении дробей к наименьшему общему знаменателю, поскольку наша цель – иллюстрация применения теоремы при n = 2.
Ясно, что здесь a ¹ b, b ¹ c, c ¹ a. Пусть P0(x) = .
Это многочлен второго порядка, причем P0(a) = 1 + 0 + 0 = 1, P0(b) = 0 + 1 + 0 = 1, P0(c) = 0 + 0 + 1 = 1.
Следовательно, для многочлена P0(x) – 1 выполнены условия теоремы при n = 2, поэтому P0(x) – 1º0, то есть P0(x) = 1 для всех действительных чисел x.
Представим многочлен P0(x) в стандартном виде P0(x) = ax2 + bx + g. В данном случае, как легко заметить,
a = ;
b = ;
g = .
Следовательно, a = b = g — 1 = 0.
Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) 1.
Пример 2. (7-я Соросовская олимпиада, 11 класс.)
При всех допустимых значениях a, b и c решите уравнение
Решение. Ясно, что здесь также a ¹ b, b ¹ c, c ¹ a. Рассмотрим многочлен
Замечаем, что P1(a) = a, P1(b) = b, P1(c) = c. Это наводит не предположение, что P1(x) = x на R.
Действительно, многочлен P1(x) — x имеет степень 2 и удовлетворяет условиям теоремы (1) при n = 2. Поэтому P1(x) – x = 0 для всех x из R. Это означает, что исследуемое уравнение равносильно уравнению x= x2. Отсюда имеем x1 = 0,x2 = 1.
Ответ: 0;1.
В качестве иллюстрации полезности следствия к теореме рассмотрим следующий пример:
Пример 3. Докажите равенство:
а) 1 + x4 = (1 + x
Прежде чем привести решение, отметим, что задачи такого типа можно решить либо стандартно перемножая многочлены (и приводя подобные члены), либо применяя формулы сокращенного умножения. Например, в случае задания а) можно предложить следующее доказательство:
Но, зная приведенное выше следствие, можно привести следующее решение:
а) легко увидеть, что если бы скобки в правой части доказываемого равенства были раскрыты, то получился бы многочлен степени 4. В левой части также многочлен степени 4. Таким образом, в силу следствия достаточно убедиться, что значение выражений в левой и правой частях доказываемого равенства в каких-нибудь пяти различных точках равны. Действительно, в данном случае имеем:
x = 0 Þ 1 = 1*1;
x = ±1 Þ 2 = (2 ± ) = 4 – 2 = 2;
x = ±2 Þ 17 = (5 ± ) = 25 – 8 =17.
б) Аналогично, достаточно проверить это равенство, например,
при x = 0; ±1; ±2; ± .
Первичное осмысление и закрепление материала, изученного на уроке:
Попробуйте самостоятельно решить следующий пример, применяя метод тождественных многочленов(на экране представлен текст задания).
Пример 4. Докажите тождество:
а) ;
б) ;
в)
Указание: Ясно, что во всех трех случаях достаточно убедиться в истинности этих равенств при x = , x = b, x = c.
Подведение итогов. Домашнее задание.
- На уроке мы рассмотрели применение метода тождественных многочленов при решении различных задач, связанных с преобразованием алгебраических выражений.
- С помощью данного метода легко решаются задачи на упрощение выражений и доказательство тождеств.
- Данный метод рекомендуется для использования при подготовке к олимпиадам различного уровня.
В качестве домашнего задания предлагается решить методом тождественных многочленов следующие примеры (на экране представлены тексты заданий):
Пример 6. Положим
Докажите, что
S0=S1=0, S2=1, S3=a + b + c, S4=a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac,
S5=a3 + b3 + c3 + a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c + bc2 + abc.
Пример 7.(7-я Соросовская олимпиада, 9 класс.)
При всех допустимых значениях a и b решите уравнение
В заключении хочется отметить, что данный метод вызывает интерес у учащихся, мотивирует их на поиск олимпиадных заданий, при решении которых возможно применение указанного метода. Занятия такого рода прививают заинтересованность к изучению различных математических методов, позволяющих решать олимпиадные задачи.
Скачать материалы публикации:
>> План-конспект